Zwei Gekoppelte Anharmonische Oszillatoren Forex

Gekoppelte Harmonische Oszillatoren Neben der Präsentation eines physikalisch wichtigen Systems zeigt diese Vorlesung eine sehr tiefe Verbindung, die im Mittelpunkt der modernen Anwendungen der Quantenmechanik steht. Wir werden sehen, daß die Quantentheorie einer Partikelsammlung als Theorie eines Feldes umgestaltet werden kann (dh ein Objekt, das Werte an jedem Punkt des Raumes annimmt). Sie kennen alle die klassischen Feldtheorien - ein Beispiel ist die Wellengleichung. Ein anderes Beispiel ist die Schrödinger-Gleichung. Dies ist Teil der Welle-Teilchen-Dualität: Die Theorie eines einzigen Quanten-Teilchen ist die klassische Theorie einer Welle (plus einige Regeln darüber, wie Messung funktioniert). Dieser Ansatz ist allgegenwärtig. Zum Beispiel ist ein gemeinsamer Weg zum Verständnis von hochenergetischen Physikphänomenen, eine klassische Feldtheorie mit denselben Symmetrien aufzuschreiben und dann mit Techniken zu quantisieren, wie sie in dieser Vorlesung zu erlernen sind. Andererseits beinhaltet ein gemeinsamer Ansatz in der Physik der kondensierten Materie ein kompliziertes mikroskopisches Modell von wechselwirkenden Bestandteilen, wobei dann eine effektive Niedrigenergie-Feldtheorie entnommen wird. In beiden Bereichen sind die Techniken der Quantenfeldtheorie auch Allzweckwerkzeuge für die Berechnung der Dinge. In diesem Vortrag beginnen wir mit einer diskreten Annäherung an eine klassische Feldtheorie (eine Variante eines elastischen Stabes), quantisieren sie und zeigen, daß sie als Theorie der Teilchen umgestaltet werden kann. Diese emergenten Teilchen werden als Phononen bezeichnet - Quanten des Schalls. Die gleiche Art von Argumenten verbinden klassische Lichtwellen und Photonen. Da die Maxwells-Gleichungen ein wenig komplizierter sind als die Wellengleichung, ist die Theorie der Photonen natürlich etwas komplizierter (nicht viel). Dies ist eine ziemlich anspruchsvolle Geschichte - so wird es im Wesentlichen zwei Vorträge, um es zu vollenden. Bevor Sie mit unserem Modell fortfahren, ist es sinnvoll, einige Eigenschaften des klassischen Klangs in realen Materialien zu überprüfen. Ein typisches mentales Modell ist, dass wir ein Bündel Kugel haben, das durch Federn verbunden ist: Das wird zwei Arten von Schallwellen haben: Längsmodi, wo sich die Atome in Richtung der Propegation bewegen: und transversale Moden, in denen sich die Atome senkrecht zur Richtung bewegen Der Bewegung: Für die Konkretheit werden wir über Längsmodi nachdenken, obwohl (wie Sie aus PHYS 22142218 wissen) die Theorie des Quersounds ziemlich ähnlich ist. Ich möchte aber noch eine Stufe der Raffinesse hinzufügen. Die meisten Materialien haben mehr als eine Art von Atom. So sollte unser Modell eigentlich mindestens zwei verschiedene Arten von Kugeln haben: In diesen komplizierteren Materialien gibt es akustische Moden, in denen sich alle Atome zusammen bewegen und optische Moden, in denen sich die Schwarz-Weiß-Atome aus der Phase bewegen. Diese letzteren werden als optisch bezeichnet, weil sie im allgemeinen eine endliche zeitabhängige Polarisation einbeziehen und daher mit Licht koppeln können. Alle diese können entweder in Längsrichtung oder Querrichtung (so werden Sie hören, Menschen sprechen über längliche optische Modi oder transversale optische Modi. Wir werden ein Spielzeug-Modell der longitudinalen akustischen Modi zu machen. Wir denken, dass die schweren Atome im Wesentlichen stationär sind, Und nur die leichten Atome bewegen sich, es wird eine schwache Kopplung zwischen den Lichtatomen geben, die ein Modell so ähnlich ergibt: Wir haben Etiketten hinzugefügt, um zu zeigen, daß das j-te Teilchen um einen Abstand xj von seiner Gleichgewichtsposition verschoben wird A ist die Gitterkonstante), und es fühlt sich eine Rückstellkraft mit der Federkonstante kappa an, die die Kopplung mit den schweren Atomen repräsentiert, und das j-te Teilchen wird auch durch eine Feder an das j-te Teilchen angeheftet werden, die Federkonstante gammallkappa haben Wollen wir eine Quantenbeschreibung dieses Systems schreiben, indem wir die klassische Energie beginnen Etikett Esumj frac frac xj2frac (xj-x) 2. Ende Die quantenmechanische Version von diesem erfordert nur pjto-ipartial, und verwenden Sie diese in einer großen Schrödinger-Gleichung Hpsi (x1, x2, cdots, xN) Epsi (x1, x2, cdots, xN). Obwohl es vielleicht schwer zu glauben scheint, stellt sich heraus, dass wir dieses Modell genau lösen können. Im Geiste dieses Kurses werde ich Ihnen eine ungefähre Methode zeigen, die uns ein wenig mehr Einblick gibt. Die Annäherung wird auf die Tatsache, dass gammallkappa verlassen. Der erste Schritt dieser Näherung ist ein wenig abstrakt. Ich werde einleitende Strichleiteroperatoren für das j-Partikel vorstellen. Da das j-te Teilchen mit den jpm1-Teilchen gekoppelt ist, sollten die entsprechenden Leiteroperatoren irgendwie alle drei Teilchen umfassen. Tatsächlich umfassen die Operatoren im Allgemeinen alle Teilchen. Zur niedrigsten Ordnung in gammakappa genügt es, nur die nächsten Nachbarn einzuschließen. Ill erklären, wie ich das später bekommen, aber was ich tun werde, ist zu erraten beginnen Etikett xj frac links ((ajajdagger) alpha (aa daggera ein Dolch) rechts pj frac di links ((aj-ajdagger) - alpha (a - a Daggera - a Dolch) rechts, wo alpha klein sein soll, dh der Ordnung gammakappa. Die Parameter d und alpha werden später gesetzt werden. Wenn wir nehmen alpha0 und d4sqrt dies ist nur die Standard-Definition der Leiter Operatoren. Selbst mit Alphanq0 Dies können Leiteroperatoren für unabhängige harmonische Oszillatoren sein, wenn wir das Anfangsdiagramm ai, aj0 delta endlich anordnen können. Wir nehmen an, dass die Gleichungen (ref) erfüllt sind, und wir müssen dann überprüfen, ob die xs und ps die richtigen Kommutierungsbeziehungen haben: begin label Xi, xj0label pi, pj0label xi, pjihbar delta end, wobei delta das Kronecker-Delta ist, gleich null, wenn ineq j und 1 bei ij. Die ersten beiden Relationen Gl. (Ref) und (ref) sind trivial erfüllt, da aiaidagger, ajajdagger0 und Ai-aidagger, aj-ajdagger0 Die letzte Beziehung braucht mehr Arbeit, die einzigen Fälle, die berücksichtigt werden müssen, sind die mit ij und die mit ij1. Beginnen wir mit ij. Wenn man den Kommutator Term mit dem Term macht, beginnt xi, piihbar (1-alpha2). Dies ist gut genug für mich. Wenn alpha klein ist, dann ist alpha2 wirklich klein. Natürlich wäre es nicht zu schwer, unseren Ansatz ändern, um loszuwerden, diese kleine Diskrepanz. Es würde wahrscheinlich machen künftige Buchhaltung ein bisschen härter. Eine gute Faustregel ist dont verwenden eine genauere Modelapproximation, als Sie haben. Sie lernen oft mehr von der groben Ansatz. Nun sehen wir uns den nächsten Nachbarbegriff an. Wir beginnen mit xi, p frac left (aiaidagger, - alpha (ai-aidagger) alpha (aa dagger), a - a daggerright). Die beiden Begriffe in Klammern sind eindeutig negativ für einander Wenn wir nicht vorsichtig sind, wird es uns chaotisch werden, anstatt nur blindlings hineinzuspringen, ist es sinnvoll, das Formular zu schreiben (Ajdagger aj aj ajdagger) - t (a dagger ajajdagger a) rechts, nichtumberquad links Phantom Delta0 (aj ajajdagger ajdagger) Delta1 (aj aa Dolch aj) cdots rechts, Ende Hier sind omega0, t, Delta0 und Delta1 alle Funktionen von m, kappa, gamma und alpha, die vernachlässigten Terme sind alle von Ordnung (gammakappa) 2, so dass wir sie ignorieren können Die Form ist, können wir fragen, was jeder dieser Koeffizienten ist - eins nach dem anderen. Die resultierenden Ausdrücke werden viel weniger chaotisch. Dies ist eine gute allgemeine Strategie. In den Hausaufgaben werden Sie diese Begriffe zu berechnen - und Sie Wird feststellen, dass Sie in der Lage, alpha und d, so dass Delta0Delta10 wählen. Mit dieser Wahl wird die Theorie durch den Hamilton-Operator Hsumj links links (frac tright) (ajdagger aj aj ajdagger) - t (ein Dolch ajajdagger a) rechts beschrieben. Ende Dies ist ein interessanter Ausdruck, da er eine wichtige Symmetrie hat: die Anzahl der Quanten wird konserviert. Das ist Nsumk ajdagger aj pendelt mit dem Hamilton-Operator, und N ist daher eine Konstante der Bewegung. Wir können uns auf das Gehäuse N1 spezialisieren. Der Hilbert-Raum für diesen Sektor wird von den Staaten jannle überspannt - definiert als der Zustand, wo der j-te Oszillator ein einziges Erregungsquantum hat und der Rest in seinem Grundzustand ist. Die allgemeinste Wellenfunktion ist dann beginnen psiranglesumj psij jrangle, end, wo psij2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Erregung im Zustand jrangle. Das sieht interessant aus. Was noch interessanter ist, ist die Tatsache, daß die Schrödinger-Gleichung auf eine Gleichung für psij (t) reduziert werden kann: begin label ipartialtpsirangleH psirangle sumj i psiprimej (t) jranglesumj leftleft (E0hbaromega02 tright) psij-t psi - t psi right jrangle, Wo E0sumj (hbaromega02t) die Grundzustandsenergie ist (die umfangreich ist). Da ziemlich genau jede von uns entwickelte Messung nur Energiedifferenzen liefert, ist dies eine irrelevante Konstante. Diese Konstante kann durch die Transformation psij (t) bis psij (t) e entfernt werden. Die Zustände sind orthogonal, so dass Gl. (Ref) kann nur erfüllt werden, wenn für alle j, begin i psiprimej (t) (hbaromega02 t) psij-t psi - t psi, enden, die familliar aussehen sollten. Dies ist eine Matrixgleichung: begin (ipartialt-hbaromega0) left (begin psi1 psi2 psi3 psi4 vdots end right) left (begin 2t-t00cdots - t2t-t0 0-t2t-t0 vdots end right) left (begin psi1 psi2 psi3 psi4 vdots End right) end Wir haben die Matrix vorher gesehen: es ist nur die endliche Differenzannäherung zur zweiten Ableitung. Wenn wir also rückwärts durch unsere Ableitung von endlichen Differenzen gehen, erhalten wir ipartialt psi (x) links (hbaromega0-frac rechts) psi (x), end wo hbar22ma2t. Wir haben die Partikel-Schrödinger-Gleichung aus einem Klangmodell hergeleitet, ich vermute, der Klang besteht aus Partikeln. Wir nennen diese Teilchen Phononen. Was noch spannender ist, können wir den Fall mit N2 betrachten. Nun wird der Hilbert-Raum von Zuständen mit Erregungen an zwei Stellen überspannt: j, jprimerangle (wobei jprime gleich j sein kann). Dies muss ein Zwei-Teilchen-Zustand sein. Interessanterweise können wir nicht bestimmen, Partikel ist, in welchem ​​Ort - der Staat ist nur durch die Orte der Partikel spezifiziert. Durch die Konstruktion sind die Teilchen ununterscheidbar: sie sind Bosonen. Somit entstehen bei der Quantisierung einer klassischen Feldtheorie automatisch Bosonen. Gleichförmig gedämpfte, allgemein gekoppelte anharmonische Oszillatoren und die kohärente Zustandsdarstellung Zitieren Sie diesen Artikel als: Bose, S. K. Tripathy, DN Letters in Mathematical Physics (1980) 4: 265. doi: 10.1007BF00402575 Wir erhalten eine perturbative Lösung für ein System zweier ungleicher, gleichförmig gedämpfter gekoppelter Oszillatoren, gestört durch anharmonische Terme homogener Leistung 4 p der Positionsvariablen in Die kohärente Zustandsdarstellung. Ein neuer Zeitrahmen, quasi-Zeit genannt, wurde in der Ableitung ausgenutzt. Die Lösung enthält nicht die bösartigen säkularen Begriffe und zeigt explizit die Dämpfung und die anharmonischen Effekte eines gekoppelten Systems. Referenzen HioeF. T. MacMillanD. Und MontrollE. W. J. Math. Phys. 17. 1320 (1976) und die in diesem Papier enthaltenen Literaturstellen. CrossRef Google Scholar MinorskyR. Nichtlineare Oszillationen. Van Nostrand, Princeton, N. J., 1962, Nayfen, A. H. Perturbation Methods. Wiley, New York, 1973 Dingle, R. B. Asymptotische Erweiterungen. Academic Press, London, 1973. Google Scholar Messer, J. Diplomarbeit, Technische Hochschule Darmstadt, 1974. GlauberR. J. Phys. Rev. 131. 2766 (1963) Klauder, J. R. und Sudarshan, E. C.G. Grundlagen der Quantenoptik. W. A. Benjamin, Inc. New York, 1968. CrossRef Google Scholar