Der EWMA-Ansatz hat ein attraktives Merkmal: Er benötigt relativ wenig gespeicherte Daten. Um unsere Schätzung an jedem Punkt zu aktualisieren, benötigen wir nur eine vorherige Schätzung der Varianzrate und des jüngsten Beobachtungswertes. Ein weiteres Ziel der EWMA ist es, Veränderungen in der Volatilität nachzuvollziehen. Für kleine Werte beeinflussen jüngste Beobachtungen die Schätzung zeitnah. Für Werte, die näher an einem liegen, ändert sich die Schätzung langsam auf der Grundlage der jüngsten Änderungen in den Renditen der zugrundeliegenden Variablen. Die von JP Morgan erstellte und öffentlich zugängliche RiskMetrics-Datenbank nutzt die EWMA zur Aktualisierung der täglichen Volatilität. WICHTIG: Die EWMA-Formel geht nicht von einem lang anhaltenden durchschnittlichen Varianzniveau aus. So bedeutet das Konzept der Volatilität Reversion nicht von der EWMA erfasst. Die ARCH / GARCH Modelle sind dafür besser geeignet. Ein sekundäres Ziel der EWMA ist es, Veränderungen in der Volatilität nachzuvollziehen, so dass für kleine Werte die jüngsten Beobachtungen die Schätzung sofort beeinflussen, und für Werte, die näher bei 1 liegen, ändert sich die Schätzung langsam auf die jüngsten Änderungen in den Renditen der zugrunde liegenden Variablen. Die RiskMetrics-Datenbank (erstellt von JP Morgan), die 1994 veröffentlicht wurde, verwendet das EWMA-Modell zur Aktualisierung der täglichen Volatilitätsschätzung. Das Unternehmen festgestellt, dass über eine Reihe von Marktvariablen, gibt dieser Wert der Prognose der Varianz, die am nächsten zu realisierten Varianz Rate kommen. Die realisierten Varianzraten an einem bestimmten Tag wurden als gleichgewichteter Durchschnitt der folgenden 25 Tage berechnet. Um den optimalen Wert von lambda für unseren Datensatz zu berechnen, müssen wir die realisierte Volatilität an jedem Punkt berechnen. Es gibt mehrere Methoden, so wählen Sie ein. Als nächstes wird die Summe der quadratischen Fehler (SSE) zwischen der EWMA-Schätzung und der realisierten Volatilität berechnet. Schließlich minimieren die SSE durch Variieren des Lambdawertes. Klingt einfach Es ist. Die größte Herausforderung besteht darin, einen Algorithmus zur Berechnung der realisierten Volatilität zu vereinbaren. Zum Beispiel wählten die Leute bei RiskMetrics die folgenden 25 Tage, um die realisierte Varianzrate zu berechnen. In Ihrem Fall können Sie einen Algorithmus wählen, der Tägliche Volumen-, HI / LO - und / oder OPEN-CLOSE Preise nutzt. Q 1: Können wir EWMA verwenden, um die Volatilität mehr als einen Schritt voraus zu schätzen (oder prognostizieren) Die EWMA-Volatilitätsdarstellung setzt keine langfristige Durchschnittsvolatilität voraus, so dass die EWMA für jeden Prognosehorizont über einen Schritt hinaus eine Konstante zurückgibt Wert: GARCH und EWMA 21. Mai 2010 von David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: Vergleich, Kontrast und Berechnung parametrischer und nicht-parametrischer Ansätze zur Schätzung der bedingten Flüchtigkeit 8230 Einschließlich: GARCH-ANSATZ Inklusive: EXPONENTIAL SMOOTHING (EWMA) Exponentielle Glättung (bedingt Parametrische) Moderne Methoden setzen mehr Gewicht auf aktuelle Informationen. Sowohl EWMA als auch GARCH legen mehr Wert auf aktuelle Informationen. Da EWMA ein Spezialfall von GARCH ist, verwenden sowohl EWMA als auch GARCH exponentielle Glättung. GARCH (p, q) und insbesondere GARCH (1, 1) GARCH (p, q) ist ein allgemeines autoregressives bedingtes heteroskedastisches Modell. Zu den wichtigsten Aspekten gehören: Autoregressive (AR). Tomorrow8217s Varianz (oder Volatilität) ist eine regressive Funktion von heute8217s variance8212it regresses auf sich Bedingte (C). Tomorrow8217s Varianz hängt8212is bedingt an8212die neueste Varianz. Eine bedingungslose Varianz hängt nicht von der heutigen Heteroskedastik (H) ab. Abweichungen sind nicht konstant, sie Fluß im Laufe der Zeit GARCH regresses auf 8220lagged8221 oder historische Begriffe. Die verzögerten Terme sind entweder Varianz - oder quadratische Renditen. Das generische GARCH (p, q) - Modell regressiert auf (p) quadratischen Renditen und (q) Varianzen. Daher rückt GARCH (1, 1) 8220lags8221 oder regressiert auf der quadrierten Rückkehr der letzten Periode8217s (d. h. nur 1 zurück) und der letzten Periode8217s-Varianz (d. h. nur 1 Varianz). GARCH (1, 1), die durch die folgende Gleichung gegeben ist. Die gleiche GARCH (1, 1) - Formel kann mit griechischen Parametern gegeben werden: Hull schreibt die gleiche GARCH-Gleichung wie folgt: Der erste Term (gVL) ist wichtig, da VL die Langzeit-Varianz ist. Daher ist (gVL) ein Produkt: es ist die gewichtete langfristige durchschnittliche Varianz. Das GARCH-Modell (1, 1) löst für die bedingte Varianz als Funktion von drei Variablen (vorherige Varianz, frühere Rückkehr2 und Langzeitvarianz): Persistenz ist ein in das GARCH-Modell eingebettetes Merkmal. Tipp: In den obigen Formeln ist die Persistenz (b c) oder (alpha-1 beta). Persistenz bezieht sich darauf, wie schnell (oder langsam) die Varianz zurückkehrt oder 8220decays8221 in Richtung zu seinem langfristigen Durchschnitt. Eine hohe Persistenz entspricht einem langsamen Verfall und einem langsamen Rückgang auf die mittlere8221 niedrige Persistenz entspricht einem schnellen Zerfall und einer schnellen 8220-Rückkehr zum Mittel.8221 Eine Persistenz von 1,0 impliziert keine mittlere Reversion. Eine Beharrlichkeit von weniger als 1,0 bedeutet 8220reversion des Mittelwerts, 8221, wo eine geringere Persistenz eine grßere Reversion des Mittels zur Folge hat. Tip: Wie oben ist die Summe der Gewichte, die der verzögerten Varianz und der verzögerten quadrierten Rendite zugeordnet sind, Persistenz (bc Persistenz). Eine hohe Persistenz (größer als Null, aber kleiner als eins) impliziert eine langsame Reversion auf den Mittelwert. Wenn jedoch die Gewichte, die der verzögerten Varianz und der verzögerten quadratischen Rückkehr zugewiesen sind, größer als eins sind, ist das Modell nicht stationär. Ist (bc) größer als 1 (wenn bc gt 1) ist das Modell nicht stationär und nach Hull instabil. In diesem Fall ist EWMA bevorzugt. Linda Allen sagt über GARCH (1, 1): GARCH ist sowohl 8220compact8221 (d. H. Relativ einfach) als auch bemerkenswert genau. GARCH-Modelle dominieren in der wissenschaftlichen Forschung. Viele Variationen der GARCH-Modell wurden versucht, aber nur wenige haben auf das Original verbessert. Der Nachteil des GARCH-Modells ist seine Nichtlinearität sic Beispiel: Lösung für Langzeitvarianz in GARCH (1,1) Betrachten wir die GARCH (1, 1) - Gleichung unten: Angenommen, der Alpha-Parameter 0.2, der Beta-Parameter 0.7, Und beachten Sie, dass Omega 0,2, aber don8217t Fehler Omega (0,2) für die langfristige Varianz Omega ist das Produkt von Gamma und die langfristige Varianz. Also, wenn Alpha-beta 0,9, dann muss gamma 0,1 sein. Da Omega 0,2 ist, wissen wir, dass die Langzeitvarianz 2,0 (0,2 184 0,1 2,0) betragen muss. GARCH (1,1): Der Notationsunterschied zwischen Hull und Allen EWMA ist ein Spezialfall von GARCH (1,1) und GARCH (1,1) ist ein verallgemeinerter Fall von EWMA. Der herausragende Unterschied ist, dass GARCH den zusätzlichen Begriff für mittlere Reversion enthält und EWMA fehlt eine mittlere Reversion. Wie wir aus GARCH (1,1) zu EWMA gelangen, lassen wir nun eine 0 und (bc) 1, so dass sich die obige Gleichung vereinfacht: Dies ist nun gleichbedeutend mit der Formel für den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt (EWMA): In EWMA bestimmt der Lambda-Parameter nun das 8220decay: 8221 ein Lambda, das nahe bei einem (hohen Lambda) liegt, zeigt einen langsamen Abfall. Der RiskMetricsTM-Ansatz RiskMetrics ist eine Markenform des exponentiell gewichteten gleitenden Durch - schnitts (EWMA) - Ansatzes: Das optimale (theoretische) Lambda variiert je nach Assetklasse, aber der insgesamt optimale Parameter, der von RiskMetrics verwendet wird, beträgt 0,94. In der Praxis verwendet RiskMetrics nur einen Zerfallsfaktor für alle Serien: 183 0,94 für tägliche Daten 183 0,97 für monatliche Daten (Monat definiert als 25 Handelstage) Technisch gesehen sind die täglichen und monatlichen Modelle inkonsistent. Allerdings sind sie beide einfach zu bedienen, sie angenähert das Verhalten der tatsächlichen Daten ganz gut, und sie sind robust, misspecification. Hinweis: GARCH (1, 1), EWMA und RiskMetrics sind jeweils parametrisch und rekursiv. (GARCH amp EWMA) Zusammenfassung Tipps: GARCH (1, 1) ist verallgemeinert RiskMetrics und umgekehrt RiskMetrics ist GARCH (1, 1) ist gegeben durch: Die drei Parameter sind Gewichte und müssen daher auf eins addieren: Tipp: Seien Sie vorsichtig mit dem ersten Begriff in der GARCH (1, 1) Gleichung: omega () gamma () (mittlere Langzeitvarianz). Wenn Sie nach der Varianz gefragt werden, müssen Sie eventuell das Gewicht aufteilen, um die durchschnittliche Varianz zu berechnen. Bestimmen Sie, wann und ob ein GARCH - oder EWMA-Modell in der Volatilitätsabschätzung verwendet werden sollte. In der Praxis sind die Varianzraten tendenziell mittlere Umkehrung, daher ist das GARCH (1, 1) - Modell theoretisch überlegen (8220 attraktiver als8221) an das EWMA-Modell. Denken Sie daran, dass8217s der große Unterschied: GARCH fügt den Parameter, der den langfristigen Durchschnitt gewichtet und daher enthält es mittlere Reversion. Tipp: GARCH (1, 1) ist bevorzugt, es sei denn, der erste Parameter ist negativ (was impliziert wird, wenn alpha beta gt 1). In diesem Fall ist GARCH (1,1) instabil und EWMA wird bevorzugt. Erklären Sie, wie die GARCH-Schätzungen Prognosen liefern können, die genauer sind. Der gleitende Durchschnitt berechnet die Varianz auf der Basis eines nachlaufenden Beobachtungsfensters, z. B. Die letzten zehn Tage, die letzten 100 Tage. Es gibt zwei Probleme mit dem gleitenden Durchschnitt (MA): Ghosting-Feature: Volatilitätsschocks (plötzliche Erhöhungen) werden abrupt in die MA-Metrik integriert und dann, wenn das hintere Fenster überschreitet, werden sie plötzlich aus der Berechnung fallen gelassen. Dadurch verschiebt sich die MA-Metrik in Abhängigkeit von der gewählten Fensterlänge. Trendinformationen werden nicht übernommen GARCH-Schätzungen verbessern diese Schwächen auf zweierlei Weise: Neuere Beobachtungen werden mit größeren Gewichten verknüpft. Dieses überwindet das Geisterbild, weil ein Volatilitätsschock sofort die Schätzung beeinflusst, aber sein Einfluss wird allmählich im Laufe der Zeit vergehen. Ein Begriff wird hinzugefügt, um die Umkehrung des Mittels zu berücksichtigen. Erklären Sie, wie Persistenz mit der Reversion des Mittelwerts zusammenhängt. Die GARCH (1, 1) - Gleichung: Persistenz ist gegeben durch: GARCH (1, 1) ist instabil, wenn die Persistenz gt 1. Eine Persistenz von 1,0 gibt keine mittlere Reversion an. Eine geringe Persistenz (z. B. 0,6) zeigt einen schnellen Abfall und eine hohe Reversion gegenüber dem Mittel an. Tipp: GARCH (1, 1) hat drei Gewichte, die drei Faktoren zugeordnet sind. Persistenz ist die Summe der Gewichte, die sowohl der verzögerten Varianz als auch der verzögerten quadrierten Rendite zugeordnet sind. Das andere Gewicht ist der Langzeitvarianz zugeordnet. Wenn P-Persistenz und G-Gewicht einer Langzeitvarianz zugewiesen werden, dann PG 1. Wenn daher P (Persistenz) hoch ist, dann ist G (mittlere Reversion) niedrig: die anhaltende Reihe ist nicht stark, bedeutet sie zurückzukehren, zeigt 8220slow decay8221 in Richtung der bedeuten. Wenn P niedrig ist, dann muss G hoch sein: die widersprüchliche Reihe bedeutet stark rückgängig, zeigt 8220rapid decay8221 zum Mittelwert. Die durchschnittliche, unbedingte Varianz im GARCH (1, 1) - Modell ist gegeben durch: Erläutern Sie, wie EWMA systematisch ältere Daten vergisst und die RiskMetrics174 täglichen und monatlichen Zerfallsfaktoren identifiziert. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) ist gegeben durch: Die obige Formel ist eine rekursive Vereinfachung der EWMA-Reihe 8220true8221, die gegeben ist durch: In der EWMA-Reihe ist jedes Gewicht, das den quadrierten Renditen zugeordnet ist, ein konstantes Verhältnis des vorhergehenden Gewichts. Insbesondere ist Lambda (l) das Verhältnis zwischen benachbarten Gewichten. Auf diese Weise werden ältere Daten systematisch diskontiert. Der systematische Rabatt kann schrittweise (langsam) oder abrupt, abhängig von Lambda. Wenn Lambda hoch ist (z. B. 0,99), dann ist die Diskontierung sehr allmählich. Wenn Lambda niedrig ist (beispielsweise 0,7), ist die Diskontierung schlagartiger. Die RiskMetrics TM Zerfallsfaktoren: 0,94 für tägliche Daten 0,97 für monatliche Daten (Monat definiert als 25 Handelstage) Erklären Sie, warum Prognosekorrelationen wichtiger sein können als die Prognose von Volatilitäten. Bei der Messung des Portfolio-Risikos können Korrelationen wichtiger sein als einzelne Instrumentenvolatilität / - varianz. Daher kann in Bezug auf das Portfolio-Risiko eine Korrelationsprognose wichtiger sein als einzelne Volatilitätsprognosen. Verwenden Sie GARCH (1, 1), um die Volatilität zu prognostizieren Die erwartete zukünftige Varianzrate in (t) Perioden vorwärts ist gegeben durch: Beispielsweise wird angenommen, dass eine aktuelle Volatilitätsschätzung (Periode n) durch die folgenden GARCH (1, ) Gleichung: In diesem Beispiel ist alpha das Gewicht (0,1), das der vorherigen quadratischen Rückkehr zugewiesen wurde (die vorherige Rückkehr war 4), beta das Gewicht (0,7), das der vorherigen Varianz (0,0016) zugewiesen wurde. Was ist die erwartete zukünftige Volatilität, in zehn Tagen (n 10) First, für die langfristige Varianz zu lösen. Es ist nicht 0,00008 dieser Begriff ist das Produkt aus der Varianz und seinem Gewicht. Da das Gewicht 0,2 (1 - 0,1 - 0,7) betragen muss, beträgt die Langlaufvarianz 0,0004. Zweitens brauchen wir die aktuelle Varianz (Periode n). Das ist fast schon für uns oben: Jetzt können wir die Formel anwenden, um für die erwartete zukünftige Varianzrate zu lösen: Dies ist die erwartete Varianzrate, so dass die erwartete Volatilität etwa 2,24 beträgt. Beachten Sie, wie dies funktioniert: die aktuelle Volatilität beträgt etwa 3,69 und die langfristige Volatilität ist 2. Die 10-Tage-Forward-Projektion 8220fades8221 die aktuelle Rate näher an die langfristige Rate. Nichtparametrische VolatilitätsprognoseKalkulieren Historische Volatilität unter Verwendung von EWMA Volatilität ist die am häufigsten verwendete Risikomessung. Die Volatilität in diesem Sinne kann entweder eine historische Volatilität (eine aus früheren Daten beobachtete) oder eine Volatilität (beobachtet aus Marktpreisen von Finanzinstrumenten) sein. Die historische Volatilität kann auf drei Arten berechnet werden: Einfache Volatilität, exponentiell gewichtetes Wachstum Durchschnitt (EWMA) GARCH Einer der großen Vorteile von EWMA ist, dass es mehr Gewicht auf die jüngsten Erträge bei der Berechnung der Renditen gibt. In diesem Artikel werden wir untersuchen, wie die Volatilität mit EWMA berechnet wird. Wenn wir die Aktienkurse anschauen, können wir die täglichen logarithmischen Renditen unter Verwendung der Formel ln (P i / P i -1) berechnen, wobei P für P steht Jeder Tag schließt Aktienkurs. Wir müssen das natürliche Protokoll verwenden, weil wir die Renditen kontinuierlich erweitern wollen. Wir haben jetzt täglich Rücksendungen für die gesamte Preisreihe. Schritt 2: Platzieren Sie die Rückkehr Der nächste Schritt ist die nehmen das Quadrat der langen Rückkehr. Dies ist tatsächlich die Berechnung der einfachen Varianz oder der Volatilität, die durch die folgende Formel dargestellt wird: Hier steht u für die Rendite und m für die Anzahl der Tage. Schritt 3: Gewichte Zuweisen Gewichte zuweisen, so dass die jüngsten Renditen ein höheres Gewicht haben und ältere Renditen weniger Gewicht haben. Dazu benötigen wir einen Faktor Lambda (), eine Glättungskonstante oder einen persistenten Parameter. Die Gewichte werden als (1-) 0 zugewiesen. Lambda muss kleiner als 1 sein. Risikometrik verwendet Lambda 94. Das erste Gewicht ist (1-0,94) 6, das zweite Gewicht ist 60,94 5,64 und so weiter. In EWMA summieren sich alle Gewichte auf 1, jedoch sinken sie mit einem konstanten Verhältnis von. Schritt 4: Multiplizieren Rückkehr-quadriert mit den Gewichten Schritt 5: Nehmen Sie die Summe von R 2 w Dies ist die abschließende EWMA-Varianz. Die Volatilität ist die Quadratwurzel der Varianz. Der folgende Screenshot zeigt die Berechnungen. Das obige Beispiel, das wir gesehen haben, ist der von RiskMetrics beschriebene Ansatz. Die verallgemeinerte Form von EWMA kann als die folgende rekursive Formel dargestellt werden:
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